『物理とフーリエ変換 (物理と数学シリーズ 3)』

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ISBN-13 9784000078993

物理で用いられる数学の主要なテーマ4つについて，基礎から応用までを明快平易に解説したシリーズ．豊富に配された適切な例題により，高い応用力が身につく．すべての理工系学生に，真に役立つ座右の書として贈る．

空間論は全部省いて、計算に重きを置いた本

序

記号表

第１章　Fourier級数の導入

§１．１　物理学とFourier級数展開

§１．２　ベクトルの展開

§１．３　関数の展開

§１．４　Fourier級数展開の方法

§２．２　いろいろなFourier級数

$ \left\{\frac1{\sqrt{2a}}\exp{\frac{in\pi x}{a}}\right\}

$ f(x)\sim\frac1{2a}\sum_{n\in\Z}c_n\exp{\frac{in\pi x}{a}}

$ c_n:=\int_{-a}^{a}\exp\left(-\frac{in\pi x}{a}\right)f(x)\mathrm dx

$ \left\{\sqrt\frac2a\sin\frac{n\pi x}{a}\right\}

$ f(x)\sim\frac2a\sum_{n\in\N}b_n\sin\frac{n\pi x}{a}

$ b_n:=\int_0^a\sin\frac{n\pi x}{a}f(x)\mathrm dx

$ \left\{\frac{1}{\sqrt{a}},\sqrt\frac2a\cos\frac{n\pi x}{a}\right\}

$ f(x)\sim\frac1a a_0+\frac2a\sum_{n\in\N}a_n\cos\frac{n\pi x}{a}

$ a_n:=\int_0^a\cos\frac{n\pi x}{a}f(x)\mathrm dx

$ \left\{\sqrt\frac2a\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2a}\right\}

$ f(x)\sim\frac2a\sum_{n\in\Z_{\ge0}}b_n\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2a}

$ b_n:=\int_0^a\sin\frac{(2n+1)\pi x}{2a}f(x)\mathrm dx

$ \left\{\sqrt\frac2a\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2a}\right\}

$ f(x)\sim\frac2a\sum_{n\in\Z_{\ge0}}a_n\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2a}

$ a_n:=\int_0^a\cos\frac{(2n+1)\pi x}{2a}f(x)\mathrm dx

第３章　Fourier級数の簡単な性質

§３．１　なめらかさとFourier成分

§３．３　微分

第４章　Fourier級数の有効な場合

§４．１　定数係数の線形常微分方程式の非同次の特解

§４．２　常微分方程式 の特別な境界条件のもとでの解

§４．３　変数分離した方程式の１つが の形になる線形偏微分方程式の境界値問題

第５章　多重Fourier級数

第６章　Fourier積分変換への移行

第７章　Fourier級数展開，Fourier積分変換の応用

§７．１　質点・糸・膜の振動

a）質点の振動

b）糸の微小横振動

c）矩形膜の微小横振動

§７．２　弾性体の振動

a）棒の微小縦振動

b）円形棒のねじり振動

§７．３　電気回路，線形系

a）Fourier級数による解析

b）線形系

§７．４　熱伝導

§７．５　X線・中性子・電子散乱

a）散乱と密度関数

b）結晶解析

c）密度の摂動

d）散漫散乱

§７．６　空洞放射

§７．７　金属の自由電子論

第８章　Laplace変換

§８．１　Fourier変換とLaplace変換

§８．２　Laplace変換の性質

a）収束座標，収束軸

b）絶対収束，一様収束，正則性

§８．３　逆変換

§８．４　いろいろな性質

a）たたみこみ

b）形式的諸性質

c）積分公式

§８．５　応用

a）定数係数線形常微分方程式

b）低次多項式係数の線形常微分方程式の初期問題

c）偏微分方程式

d）積分方程式

e）Darwin-Fowlerの方法

第９章　Green関数

§９．１　物理的，数学的意味

§９．２　Green関数の諸性質

§９．３　無限遠境界条件に対するGreen関数

a）Helmholtzの方程式のGreen関数

b）拡散方程式のGreen関数

c）波動方程式のGreen関数

§９．４　応用例

a）回折と干渉

b）散乱

c）熱伝導

d）自由粒子の波束の拡り

e）荷電粒子の作るポテンシャル

第10章　球関数展開

§10．１　有効な場合

§10．２　応用例

a）ポテンシャルを求める問題

b）球または半球内の熱伝導

c）電気多重極

第11章　円筒関数展開

§11．１　有効な場合

§11．２　応用例

a）鎖の振動

b）円形膜の微小横振動

c）円筒内の熱伝導

補遺

［A］　Sturm-Liouvilleの固定関数系

A．１　正則境界条件の場合

A．２　非正則境界条件の場合の固有関数系の例

［B］　δ関数とそのFourier変換

［C］　球関数

［D］　円筒関数

［E］　Fourier積分変換の例

参考書

索引